\subsection{多面角的性质}\label{subsec:3-2}

在研究多面角的性质之前，先研究三面角的一个性质：

\begin{dingli}[定理][smj-lgmjh]
    三面角的任意两个面角的和大于第三个面角。
\end{dingli}

已知：三面角 $S{-}ABC$（图 \ref{fig:ltjh-3-4}）。

求证：$\angle ASB + \angle BSC > \angle ASC$。

证明：当 $\angle ASC \leqslant \angle ASB$ 时，显然，$\angle ASB + \angle BSC > \angle ASC$。

现在设 $\angle ASC > \angle ASB$。在面 $ASC$ 上作线段 $SD'$，使 $\angle ASD' = \angle ASB$，
过点 $D'$ 引与各棱都相交的平面 $A'B'C'$，使 $SB' = SD'$。这时
$$ \triangle A'SB' \quandeng \triangle A'SD' \douhao $$

$\therefore$ \quad $A'B' = A'D'$。

在 $\triangle A'B'C'$ 中，$A'B' + B'C' > A'C'$，同时 $A'D' + D'C' = A'C'$， 由此得到 $B'C' > D'C'$。

在 $\triangle B'SC'$ 和 $\triangle D'SC'$ 中，因 $B'C' > D'C'$，由余弦定理得 $\cos B'SC' < \cos D'SC'$，

所以 \quad $\angle B'SC' > \angle D'SC'$，即 $\angle BSC > \angle D'SC$。

因此 \quad $\angle ASB + \angle BSC > \angle ASD' + \angle D'SC$，

就是 \quad $\angle ASB + \angle BSC > \angle ASC$。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \includegraphics[width=5cm]{../pic/ltjh-ch3-04.png}
        \caption{}\label{fig:ltjh-3-4}
    \end{minipage}
    \qquad \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \includegraphics[width=5cm]{../pic/ltjh-ch3-05.png}
        \caption{}\label{fig:ltjh-3-5}
    \end{minipage}
\end{figure}

这里我们注意到，如果使三面角的面与三角形的边对应，三面角的二面角与三角形的内角对应，
那么三面角的一些性质与三角形类似。因此，有些三面角的问题，常归结为三角形的问题来研究。

多面角有下面的性质：

\begin{dingli}[定理][dl:tdmj-symjh]
    凸多面角所有面角的和小于四直角。
\end{dingli}

已知：凸 $n$ 面角 $S{-}ABC{…}E$（图 \ref{fig:ltjh-3-5}）。

求证：$\angle ASB + \angle BSC + \cdots + \angle ESA < 4 \cdot Rt \angle$。

证明：用平面截已知多面角的所有面和棱，得到凸 $n$ 边形 $A'B'C'\cdots E'$。
根据前面的定理，以 $A'$、$B'$、$C'$、…、$E'$ 为顶点的各三面角的面角有下面关系：

$\angle SA'E'+ \angle SA'B' > \angle E'A'B'$，

$\angle SB'A' + \angle SB'C' >\angle A'B'C'$，

$\angle SC'B' + \angle SC'D' > \angle B'C'D'$。

…………………………………

用 $\sum$ 表示已知多面角所有面角的和，
$$ {\textstyle\sum} = \angle ASB + \angle BSC + \cdots + \angle ESA \juhao $$

将上面各不等式两边分别相加，左边是 $n$ 个三角形： $\triangle A'SB'$、$\triangle B'SC'$、…、$\triangle E'SA'$
内角的和 $2n \cdot Rt \angle$ 减去已知多面角所有面角的和 $\sum$；
右边是凸多边形 $A'B'\cdots E'$ 所有内角的和，它等于 $2(n - 2) \cdot Rt \angle$，因此，
$$ 2n \cdot Rt \angle - {\textstyle\sum}  > 2(n - 2) \cdot Rt \angle \douhao $$
即 \hspace{18em} $\sum < 4 \cdot Rt \angle$。

这个定理表明，如果沿凸多面角的一个棱剪开，把它展在平面上，那么它不能铺满一个周角，而是缺少一部分（图 \ref{fig:ltjh-3-6}）。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=10cm]{../pic/ltjh-ch3-06.png}
    \caption{}\label{fig:ltjh-3-6}
\end{figure}


\begin{lianxi}

\xiaoti{下列各组面角能否构成三面角？为什么？}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{$45^\circ$、 $65^\circ$、 $120^\circ$；}

    \xxt{$100^\circ$、 $90^\circ$、 $150^\circ$。}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{下列各组面角能否构成四面角？为什么?}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{ $45^\circ$， $60^\circ$、 $120^\circ$、 $95^\circ$；}

    \xxt{ $75^\circ$、 $105^\circ$、 $120^\circ$、 $60^\circ$。}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{证明：三面角的任何一个面角大于其他两个面角的差。}

\end{lianxi}
